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談初中數(shù)學(xué)思想方法之——建模思想

     一、要點(diǎn)點(diǎn)擊

      所謂建模思想,即將具有實(shí)際意義的應(yīng)用問題,通過數(shù)學(xué)思考方法抽象、轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,以達(dá)到問題的解決。我們所學(xué)習(xí)的各種數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定理、推論等,都是一些具體的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)建模是刻畫現(xiàn)實(shí)世界本質(zhì)聯(lián)系的重要方法。為使學(xué)生掌握建模方法,經(jīng)歷真正的“做數(shù)學(xué)”和“用數(shù)學(xué)”的過程,我們的教科書也力圖采用“問題情境—建立模型—解釋、應(yīng)用與拓展”的模式展開,通過對(duì)一個(gè)個(gè)問題的研討,逐步展開相應(yīng)內(nèi)容的學(xué)習(xí),分析問題的過程就是建模過程,分析、解決問題的能力就是數(shù)學(xué)建模能力。

      數(shù)學(xué)建模的基本思路是:

           

      二、類型歸納

      初中數(shù)學(xué)建模方法歸納起來主要有:方程(組)模型、不等式(組)模型、函數(shù)模型、三角函數(shù)或幾何模型、統(tǒng)計(jì)與概率模型等。

      三、典例精析

      1、方程(組)模型:

      例1、張新和李明約到圖書城去買書,請(qǐng)你根據(jù)他們的對(duì)話內(nèi)容,求出李明上次所買書藉的原價(jià)。

         

      【解析】通過分析,可知本題的等量關(guān)系為:書的八折價(jià)+20 元會(huì)員卡=原書價(jià)-12 元,即可列出方程。

      解:設(shè)李明上次購(gòu)買書籍的原價(jià)是x元

      由題意有0.8x+20=x-12,解得x=160 點(diǎn)評(píng):本題的條件來源于兩位學(xué)生的對(duì)話,題型新穎,要學(xué)會(huì)捕捉信息,分析數(shù)量關(guān)系,巧設(shè)未知數(shù),列出方程(組)。

     2、不等式(組)模型:

      例2、某體育館用品商場(chǎng)采購(gòu)員要到廠家批發(fā)購(gòu)進(jìn)籃球和排球共100 只,付款總額不得超過11815 元,已知兩種球廠家的批發(fā)價(jià)和商場(chǎng)的零售價(jià)如下表,試解答下列問題:

       

      (1)該采購(gòu)員最多可進(jìn)籃球多少只?

      (2)若該商場(chǎng)把這100 只球全部以零售價(jià)售出,為使商場(chǎng)獲得的利潤(rùn)不低于2580 元,則采購(gòu)員至少要購(gòu)買籃球多少只,該商場(chǎng)最多可盈利多少元?

      【解析】解:(1)設(shè)采購(gòu)員最多可購(gòu)進(jìn)籃球 x只,則排球是(100-x)只,

      依題意得:130x+100(100-x)≤11815

      解得x≤60.5

      ∵x是整數(shù),∴x=60。

      答:該采購(gòu)員最多可購(gòu)進(jìn)籃球60只。

      (2)由表中可知籃球的利潤(rùn)大于排球的利潤(rùn),因此這100 只球中,當(dāng)籃球最多時(shí),商場(chǎng)可盈利最多,即籃球60只,此時(shí)排球40只。

      商場(chǎng)可盈利(160-130)×60+(120-100)× 40=2600(元)

      即該商場(chǎng)可盈利2600元。

      點(diǎn)評(píng):解這類問題,要求既要讀懂題意,更要看懂圖表,獲得正確的信息,理解顯性或隱性的不等關(guān)系,通過構(gòu)建不等式(組)解決問題。在市場(chǎng)經(jīng)營(yíng)、生產(chǎn)決策、體育竟技、方案設(shè)計(jì)、盈虧分析、投資決策等問題中都可考慮轉(zhuǎn)化為不等式(組)求解。

      3、函數(shù)模型:

      例3、正方形ABCD 的邊長(zhǎng)為3a,兩動(dòng)點(diǎn) E、F 分別從頂點(diǎn)B、C同時(shí)開始以相同的速度沿BC、CD運(yùn)動(dòng),與△BCF相應(yīng)的△EGH在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持△EGH≌△BCF,對(duì)應(yīng)邊 EG=BC,B、E、C、G在一直線上。

       

     

     

         

      點(diǎn)評(píng):本題中的(2)就是通過構(gòu)建二次函數(shù)模型來完成的。在社會(huì)生活中的最大(小)值、選擇方案等問題多可用函數(shù)模型解決。

      4、三角函數(shù)或幾何模型:

           

      【解析】如圖,過C作AB 的垂線,交直線 AB于點(diǎn)D,得到Rt△ACD與Rt△BCD。

       

      設(shè)BD=x 海里,在Rt △ BCD 中, CD=x·tan63.5° 在Rt△ACD 中,CD=(60+ x)·tan21.3°

      ∴x·tan63.5°=(60+x)·tan21.3°,

      即2x= (60+x),解得,x=15

      點(diǎn)評(píng):本題的圖形是一個(gè)雙直角三角形,是解直角三角形中最常見的基本圖形,它本身就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型。實(shí)際生活中的測(cè)量、航海、邊角余料加工、工程定位、坡比計(jì)算等應(yīng)用題,都涉及一定圖形的性質(zhì),常需要建立相應(yīng)的三角函數(shù)或幾何模型求解。

      5、統(tǒng)計(jì)與概率模型:

      例5:小華與小麗設(shè)計(jì)了A、B兩種游戲:游戲A的規(guī)則:用3 張數(shù)字分別是2、3、4 的撲克牌,將牌洗勻后背面朝上放置在桌面上,第一次隨機(jī)抽出一張牌記下數(shù)字后再原樣放回,洗勻后再第二次隨機(jī)抽出一張牌記下數(shù)字,若抽出的兩張牌上的數(shù)字之和為偶數(shù),則小華獲勝;若兩數(shù)字和為奇數(shù),則小麗獲勝。

      游戲B的規(guī)則;用4 張數(shù)字分別是5、6、8、 8 的撲克牌,將牌洗勻后背面朝上放置桌面上,小華先隨機(jī)抽出一張牌,抽出的牌不放回,小麗從剩下的牌中再隨機(jī)抽出一張牌,若小華抽出的牌面上的數(shù)字比小麗抽出的牌面上的數(shù)字大,則小華獲勝;否則小麗獲勝。

      請(qǐng)你幫小麗選擇其中一種游戲,使她獲勝的可能性較大,并說明理由。

      解:對(duì)游戲A用列表法:

     

      

           

   

   

     

      點(diǎn)評(píng):對(duì)游戲規(guī)則公平性的研究,實(shí)際上是事件發(fā)生可能性的一種應(yīng)用,有利于培養(yǎng)同學(xué)們公平、公正的態(tài)度,形成正確的世界觀。對(duì)于題目中出現(xiàn)擲骰子、玩撲克、摸球等游戲及其他隨機(jī)事件時(shí),可利用概率這一數(shù)學(xué)模型解決,在求概率時(shí),一般要先列表或畫樹狀圖,從而直觀得到概率。

      數(shù)學(xué)建模思想在日常生活中的應(yīng)用很廣,只要同學(xué)們夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ),關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn),留心身邊的數(shù)學(xué),掌握所學(xué)的各種數(shù)學(xué)模型的特征與本質(zhì),就一定能熟練靈活地應(yīng)用它們解題。

     






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